已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半...

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO=8：5，BC=2，求BD的长．

（1）要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可；（2）通过作辅助线，根据已知条件求出∠CBD的度数，在Rt△BCD中求解即可．【解析】（1）直线BD与⊙O相切．（1分）证明：如图，连接OD． ∵OA=OD ∴∠A=∠ADO ∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90° 又∵∠CBD=∠A ∴∠ADO+∠CDB=90° ∴∠ODB=90° ∴直线BD与⊙O相切．（2分）（2）解法一：如图，连接DE． ∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90° ∵AD：AO=8：5 ∴（3分） ∵∠C=90°，∠CBD=∠A （4分） ∵BC=2， ∴ （5分）解法二：如图，过点O作OH⊥AD于点H． ∴AH=DH= ∵AD：AO=8：5 ∴cosA=（3分） ∵∠C=90°，∠CBD=∠A ∴（4分） ∵BC=2 ∴（5分）

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考点分析：

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（1）计算：

（2）先化简后求值

，其中

．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等