如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物...

（1）由直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，分别令x=0和y=0求出B与C的坐标，又抛物线经过B，C两点，把求出的B与C的坐标代入到二次函数的表达式里得到关于b，c的方程，联立解出b和c即可求出二次函数的解析式．又因A点是二次函数与x轴的另一交点令y=0即可求出点A的坐标． （2）连接OM，PM与⊙O′相切作为题中的已知条件来做．由直径所对的圆周角为直角可得∠OMC=90°从而得∠OMB=90°．又因为O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP得到OP为⊙O′的切线，然后根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等可得OP=PM，根据等边对等角得∠POM=∠PMO，然后根据等角的余角相等可得∠PMB=∠OBM，再根据等角对等边得PM=PB，然后等量代换即可求出OP的长，加上OA的长即为点P运动过的路程AP，最后根据时间等于路程除以速度即可求出时间t的值． （3）①由路程等于速度乘以时间可知点P走过的路程AP=3t，则BP=15-3t，点Q走过的路程为BQ=3t，然后过点Q作QD⊥OB于点D，证△BQD∽△BCO，由相似得比列即可表示出QD的长，然后根据三角形的面积公式即可得到S关于t的二次函数关系式，然后利用t=-时对应的S的值即可求出此时的最大值． ②要使△NCQ为直角三角形，必须满足三角形中有一个直角，由BA=BC可知∠BCA=∠BAC，所以角NCQ不可能为直角，所以分两种情况来讨论：第一种，当角NQC为直角时，利用两组对应角的相等可证△NCQ∽△CAO，由相似得比例即可求出t的值；第二种当∠QNC=90°时，也是证三角形的相似，由相似得比例求出t的值． 【解析】 （1）在y=-x+9 中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12． ∴C（0，9），B（12，0）． 又抛物线经过B，C两点，∴，解得 ∴y=-x2+x+9． 于是令y=0，得-x2+x+9=0， 解得x1=-3，x2=12．∴A（-3，0）． （2）当t=3秒时，PM与⊙O′相切．连接OM． ∵OC是⊙O′的直径，∴∠OMC=90°．∴∠OMB=90°． ∵O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP，∴OP是⊙O′的切线． 而PM是⊙O′的切线，∴PM=PO．∴∠POM=∠PMO． 又∵∠POM+∠OBM=90°，∠PMO+∠PMB=90°，∴∠PMB=∠OBM．∴PM=PB． ∴PO=PB=OB=6．∴PA=OA+PO=3+6=9．此时t=3（秒）． ∴当t=3秒，PM与⊙O′相切． （3）①过点Q作QD⊥OB于点D． ∵OC⊥OB，∴QD∥OC．∴△BQD∽△BCO．∴=． 又∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴=，解得QD=t． ∴S△BPQ=BP•QD=．即S=． S=．故当时，S最大，最大值为． ②存在△NCQ为直角三角形的情形． ∵BC=BA=15，∴∠BCA=∠BAC，即∠NCM=∠CAO． ∴△NCQ欲为直角三角形，∠NCQ≠90°，只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°两种情况． 当∠NQC=90°时，∠NQC=∠COA=90°，∠NCQ=∠CAO， ∴△NCQ∽△CAO．∴=．∴=，解得t=． 当∠QNC=90°时，∠QNC=∠COA=90°，∠QCN=∠CAO， ∴△QCN∽△CAO．∴=．∴=，解得． 综上，存在△NCQ为直角三角形的情形，t的值为和．