如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE...

等腰三角形三线合一，可得出∠AEC和∠AFC都是直角，这样用角的等量代换可证明∠FAC和∠PCA相等，可证明AQ∥PC，同理AP∥CQ，所以可先证明是平行四边形，然后根据邻边相等证明是菱形． 证明：∵AC=AD，AF是CD边上的中线， ∴∠AFC=90°， ∴∠ACF+∠CAF=90°， ∵∠ACF+∠PCA=90°， ∴∠PCA=∠CAF， ∴PC∥AQ， 同理：AP∥QC， ∴四边形APCQ是平行四边形． ∵AF∥CP，AE∥CQ， ∴∠EPC=∠PAF=∠FQC， ∵AB=AC，AE平分∠BAC， ∴CE=BE=CB（等腰三角三线合一）， ∵AF是CD边上的中线， ∴CF=CD， ∵CB=DC， ∴CE=CF， ∵PC⊥CD，QC⊥BC， ∴∠ECP+∠PCQ=∠QCF+∠PCQ=90°， ∴∠PCE=∠QCF， ∴△PEC≌△QFC（AAS）， ∴PC=QC， ∴四边形APCQ是菱形．