已知：直线y=x+6交x、y轴于A、C两点，经过A、O两点的抛物线y=ax2+b...

（1）根据过A、C两点的直线的解析式即可求出A，C的坐标． （2）根据A，O的坐标即可得出抛物线的对称轴的解析式，然后将A点坐标代入抛物线中，联立上述两式即可求出抛物线的解析式． （3）直线与圆的位置关系无非是相切与否，可连接AD，证AD是否与AC垂直即可．由于B，D关于x轴对称，那么可得出∠CAO=∠DAO=45°，因此可求出∠DAB=90°，即DA⊥AC，因此AC与圆D相切． （4）根据圆周角定理可得出∠AEO=45°，那么∠MOA=30°，即M点的纵坐标的绝对值和横坐标的绝对值的比为tan30°，由此可得出x，y的比例关系式，然后联立抛物线的解析式即可求出M点的坐标．（要注意的是本题要分点M在x轴上方还是下方两种情况进行求解） 【解析】 （1）A（-6，0），C（0，6） （2）∵抛物线y=ax2+bx（a＜0）经过A（-6，0），0（0，0）． ∴对称轴x=-=-3，b=6a…① 当x=-3时，代入y=x+6得y=-3+6=3， ∴B点坐标为（-3，3）． ∵点B在抛物线y=ax2+bx上， ∴3=9a-3b…② 结合①②解得a=-，b=-2， ∴该抛物线的函数关系式为y=-x2-2x． （3）相切 理由：连接AD， ∵AO=OC ∴∠ACO=∠CAO=45° ∵⊙B与⊙D关于x轴对称 ∴∠BAO=∠DAO=45° ∴∠BAD=90° 又∵AD是⊙D的半径， ∴AC与⊙D相切． ∵抛物线的函数关系式为y=-x2-2x， ∴函数顶点坐标为（-3，3）， 由于D、B关于x轴对称， 则BD=3×2=6． （4）存在这样的点M． 设M点的坐标为（x，y） ∵∠AEO=∠ACO=45° 而∠MOA：∠AEO=2：3 ∴∠MOA=30° 当点M在x轴上方时，=tan30°=， ∴y=-x． ∵点M在抛物线y=-x2-2x上， ∴-x=-x2-2x， 解得x=-6+，x=0（不合题意，舍去） ∴M（-6+，-1+2）． 当点M在x轴下方时，=tan30°=， ∴y=x， ∵点M在抛物线y=-x2-2x上． ∴x=-x2-2x， 解得x=-6-，x=0（不合题意，舍去）． ∴M（-6-，-1-2）， ∴M的坐标为（-6+，-1+2）或（-6-，-1-2）．