如图，A、B、C、D四点在同一圆周上，且BC=CD=4，AE=6，线段BE和DE...

根据已知条件，易证△ABC∽△BEC，所以BC2=CE•AC，即可求得EC=2，利用相交弦定理，可以确定BE•DE=12，又线段BE、ED为正整数，且在△BCD中，BC+CD＞BE+DE，所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，所以BD=7． 【解析】 ∵BC=CD， ∴∠BAC=∠DAC， ∵∠DBC=∠DAC， ∴∠BAC=∠DBC， 又∵∠BCE=∠ACB， ∴△ABC∽△BEC， ∴BC2=CE•AC， ∵BC=CD=4，AE=6， ∴EC=2， 由相交弦定理得，BE•DE=AE•EC， 即BE•DE=12， 又线段BE、ED为正整数， 且在△BCD中，BC+CD＞BE+DE， 所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3， 所以BD=BE+DE=7． 故答案为：7．