如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，于点D，AD⊥BC过点B作⊙O的切线，与CA...

（1）根据切线判定知道EB⊥BC，而AD⊥BC，从而可以确定AD∥BE，那么△BFC∽△DGC，又G是AD的中点，就可得出结论BF=EF． （2）要证PA是⊙O的切线，就是要证明∠PAO=90°连接AO，AB，根据第1的结论和BE是⊙O的切线和直角三角形的等量代换，就可得出结论． （3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD和FG的长度． （1）证明：∵BC是⊙O的直径，BE是⊙O的切线， ∴EB⊥BC． 又∵AD⊥BC， ∴AD∥BE． ∵△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC， ∴． ∴． ∵G是AD的中点， ∴DG=AG． ∴BF=EF． （2）证明：连接AO，AB， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC=90°． 在Rt△BAE中，由（1），知F是斜边BE的中点， ∴AF=FB=EF． ∴∠FBA=∠FAB． 又∵OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO． ∵BE是⊙O的切线， ∴∠EBO=90°． ∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°， ∴PA是⊙O的切线． （3）【解析】 过点F作FH⊥AD于点H， ∵BD⊥AD，FH⊥AD， ∴FH∥BC． 由（2），知∠FBA=∠BAF， ∴BF=AF． 由已知，有BF=FG， ∴AF=FG，即△AFG是等腰三角形． ∵FH⊥AD， ∴AH=GH． ∵DG=AG， ∴DG=2HG． 即． ∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°， ∴四边形BDHF是矩形，BD=FH． ∵FH∥BC，易证△HFG∽△DCG， ∴． 即． ∵⊙O的半径长为3， ∴BC=6． ∴． 解得BD=2． ∴BD=FH=2． ∵， ∴CF=3FG． 在Rt△FBC中， ∵CF=3FG，BF=FG， ∴CF2=BF2+BC2∴（3FG）2=FG2+（6）2 解得FG=3（负值舍去） ∴FG=3．