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(1)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=...

(1)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.
①当点D在AC上时,如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?直接写出你猜想的结论;
②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.
(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然成立?不必说明理由.
甲:AB:AC=AD:AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°;
乙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°;
丙:AB:AC=AD:AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°.
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(1)①BD=CE,BD⊥CE.根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE,然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA;然后在△ABD和△CDF中,由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°,即BD⊥CF; ②BD=CE,BD⊥CE.根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE,然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA;作辅助线(延长BD交AC于F,交CE于H)BH构建对顶角∠ABF=∠HCF,再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°; (2)根据结论①、②的证明过程知,∠BAC=∠DFC(或∠FHC=90°)时,该结论成立了,所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适. 【解析】 (1)①结论:BD=CE,BD⊥CE; ②结论:BD=CE,BD⊥CE…1分 理由如下:∵∠BAC=∠DAE=90° ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE…1分 在△ABD与△ACE中, ∵ ∴△ABD≌△ACE(SAS) ∴BD=CE…1分 延长BD交AC于F,交CE于H. 在△ABF与△HCF中, ∵∠ABF=∠HCF,∠AFB=∠HFC ∴∠CHF=∠BAF=90° ∴BD⊥CE…3分 (2)结论:乙.AB:AC=AD:AE,∠BAC=∠DAE=90°…2分
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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