如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B...

（1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=AB-AF=1，则在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标； （2）由题意，可知△AEF为含30度角的直角三角形，从而可求出E点坐标；又F点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式； （3）本问关键是确定平行四边形的位置与形状．因为M、N均为动点，只有FG已经确定，所以可从此入手，按照FG为一边、FG为对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形状．确定平行四边形的位置与形状之后，利用全等三角形求得M点的纵坐标，再利用直线解析式求出M点的横坐标，从而求得M点的坐标． 【解析】 （1）由已知得，FG=AF=2，FB=1 ∵四边形ABCD为矩形 ∴∠B=90° BG=== ∴G点的坐标为（3，4-）；   （2）设直线EF的解析式是y=kx+b 在Rt△BFG中，cos∠BFG== ∴∠BFG=60° ∴∠AFE=∠EFG=60° ∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=2 ∴E点的坐标为（0，4-2） 又F点的坐标是（2，4） ∴ 解得k=，b=4-2； ∴直线EF的解析式为y=x+4-2； 注： 求E点坐标方法二：过点E作EP⊥BC于点P，利用△BFG∽△PGE得到OE=4-2，所以E（0，4-2）； 求E点坐标方法三：过点E作EP⊥BC于点P，在Rt△GEP中，由勾股定理得EG2=GP2+EP2，得到OE=4-2，所以E（0，4-2）； 求E点坐标方法四：连接AG，证△AEG是等边三角形，得到OE=4-2，所以E（0，4-2）． （3）若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形： ①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示． 过M1点作M1H⊥x轴于点H， ∵M1N1∥FG， ∴∠HN1M1=∠HQF， 又∵AB∥OQ， ∴∠HQF=∠BFG， ∴∠HM1N1=∠BFG 又∵∠M1HN1=∠B=90°，M1N1=FG， ∴△M1HN1≌△GBF， ∴M1H=GB=，即yM1=． 由直线EF解析式y=x+4-2，求出xM1=3-． ∴M1（3-，）； ②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示． 仿照与①相同的办法，可求得M2（1-，-）； ③FG为平行四边形的对角线，如图3所示． 过M3作FB延长线的垂线，垂足为H．易证△M3FH≌△GN3C，则有M3H=CG=4-，所以M3的纵坐标为8-； 代入直线EF解析式，得到M3的横坐标为1+． ∴M3（1+，8-）． 综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形． 点M的坐标为：M1（3-，），M2（1-，-），M3（1+，8-）．