如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于...

（1）根据已知条件得出图象经过（0，0），（4，0）再结合图象的对称性得出顶点坐标为（2，4），代入解析式即可； （2）利用（1）中解析式用x表示出矩形的周长，再结合矩形的最值问题求出最值； （3）利用平行线的性质与轴对称性质得出△DME的周长最小值，即OD+DM，利用勾股定理求出即可． 【解析】 （1）由已知可得：顶点P到x轴的距离是4， 即P点的纵坐标为4， ∵抛物线与x轴相交于O，M两点，OM=4， ∴M点的坐标为（4，0），P点的坐标为（2，4）， 解析式为：y=a（x-2）2+4， 将M点的坐标为（4，0）代入求出a=-1， ∴解析式为：y=-1（x-2）2+4=-x2+4x； （2）∵点A，D在抛物线上，假设A点的横坐标为x，纵坐标就是-x2+4x ∴即（x，-x2+4x），AB=-x2+4x， ∵OB=x，CM=x ∴BC=4-2x， ∴矩形ABCD的周长为L=2（-x2+4x+4-2x）=-2x2+4x+8 当x==1时，L有最大值=10 （3）存在． 因为是当矩形ABCD的周长最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点E， 使得△DME的周长最小，即当x==1时，L有最大值=10， ∴A（x，-x2+4x），A的坐标为（1，3），连接OD与抛物线的对称轴直线x=2交于一点， 即AB=3，OB=1，CD=3，CM=1， ∴OF=2，OC=3，CD=3，PF∥CD， ∴EF=2， ∵A，D关于x=2对称，O，M也是关于x=2对称，则AC一定经过点E． ∴△DME的周长=EM+DM+EC=DM+EC+AE=AM+DM． ∴点E为满足条件的点，E点坐标为（2，2）． ∴DM==， 根据二次函数对称性OD=DE+EM===3， 此时△DME的周长最小值为：OD+DM=．