如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，O． （1）求...

（1）根据抛物线的对称轴方程即可确定a的值，由此可得到抛物线的解析式，通过配方可求出顶点A的坐标； （2）根据A、B的坐标，易求得直线AB的解析式，进而可确定直线l的解析式，即可表示出P点的坐标；由于P点的位置不确定，因此本题要分成两种情况考虑： ①P点位于第四象限，此时t＞0，四边形AOPB的面积可由△OAB和△OBP的面积和求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，根据S的取值范围即可判断出t的取值范围； ②P点位于第二象限，此时t＜0，可分别过A、P作x轴的垂线，设垂足为N、M；那么四边形AOPB的面积即可由梯形APMN与△ABN的面积和再减去△OPM的面积求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，可参照①的方法求出t的取值范围； 结合上面两种情况即可得到符合条件的t的取值范围； （3）根据（2）的结论，可求出t的最大值，由此可得到P点的坐标；若△OPQ为直角三角形且OP为直角边，那么有两种情况需要考虑：①∠QOP=90°，②∠OPQ=90°； 可分别过Q、O作直线l的垂线m、n，由于互相垂直的两直线斜率的乘积为-1，根据直线l的解析式以及Q、O的坐标，即可求出直线m、n的解析式，联立抛物线的解析式即可求出Q点的坐标． 【解析】 （1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称， ∴点B坐标为（6，0）． 将点B坐标代入y=ax2+2x得： 36a+12=0； ∴a=． ∴抛物线解析式为．（2分） 当x=3时，； ∴顶点A坐标为（3，3）．（3分） （说明：可用对称轴为，求a值，用顶点式求顶点A坐标） （2）设直线AB解析式为y=kx+b． ∵A（3，3），B（6，0）， ∴ 解得， ∴y=-x+6． ∵直线l∥AB且过点O， ∴直线l解析式为y=-x． ∵点P是l上一动点且横坐标为t， ∴点P坐标为（t，-t）．（4分） 当P在第四象限时（t＞0）， S=S△AOB+S△OBP =×6×3+×6×|-t| =9+3t． ∵0＜S≤18， ∴0＜9+3t≤18， ∴-3＜t≤3． 又t＞0， ∴0＜t≤3．（5分） 当P在第二象限时（t＜0）， 作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N， 则S=S梯形ANMP+S△ANB-S△PMO = = =-3t+9； ∵0＜S≤18， ∴0＜-3t+9≤18， ∴-3≤t＜3； 又t＜0， ∴-3≤t＜0；（6分） ∴t的取值范围是-3≤t＜0或0＜t≤3． （3）存在，点Q坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）．（9分） 由（2）知t的最大值为3，则P（3，-3）； 过O、P作直线m、n垂直于直线l； ∵直线l的解析式为y=-x， ∴直线m的解析式为y=x； 可设直线n的解析式为y=x+h，则有： 3+h=-3，h=-6； ∴直线n：y=x-6； 联立直线m与抛物线的解析式有： ， 解得，； ∴Q1（3，3）； 同理可联立直线n与抛物线的解析式，求得Q2（6，0），Q3（-3，-9）． （说明：点Q坐标答对一个给1分）