已知抛物线的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交...

【解析】 （1）在中，令y=0，则，整理得，4x2﹣12x﹣7=0， 解得x1=，x2=。∴A（，0），B（，0）。 在中，令x=0，则y= 。∴C（0，）。 ∵，∴顶点D（，﹣4）。 （2）在y轴正半轴上存在符合条件的点P。 设点P的坐标为（0，y）， ∵A（，0），C（0，），∴OA=，OC=，OP=y， ①若OA和OA是对应边，则△AOP∽△AOC，∴。∴y=OC=，此时点P（0，）。 ②若OA和OC是对应边，则△POA∽△AOC，∴，即。 解得y=，此时点P（0，）。 综上所述，符合条件的点P有两个，P（0，）或（0，）。 （3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵直线l经过点E（，0）和点F（0，）， ∴，解得， ∴直线l的解析式为。 ∵B（，0），D（，﹣4）， ∴，∴线段BD的中点G的坐标为（，﹣2）。 当x=时，，∴点G在直线l上。 ②在抛物线上存在符合条件的点M。 设抛物线的对称轴与x轴交点为H，则点H的坐标为（，0）， ∵E（，0）、F（0，），B（，0）、D（，﹣4）， ∴OE=，OF=，HD=4，HB=﹣=2。 ∵，∠OEF=∠HDB， ∴△OEF∽△HDB。∴∠OFE=∠HBD。 ∵∠OEF+∠OFE=90°，∴∠OEF+∠HBD=90°。 ∴∠EGB=180°﹣（∠OEF+∠HBD） =180°﹣90°=90°， ∴直线l是线段BD的垂直平分线。 ∴点D关于直线l的对称点就是点B。 ∴点M就是直线DE与抛物线的交点。 设直线DE的解析式为y=mx+n， ∵D（，﹣4），E（，0）， ∴，解得。 ∴直线DE的解析式为。 联立，解得，。 ∴符合条件的点M有两个，是（，﹣4）或（，）。 【解析】 试题分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标。 （2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解。 （3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可。 ②设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出△OEF和△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点。再设直线DE的解析式为y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M。