如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ...

如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ．
（1）求证：△BDQ≌△ADP；
（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）．

（1）由四边形ABCD是菱形，可证得AD=AB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，AD∥BC，又由∠A=60°，易得△ABD是等边三角形，然后由SAS即可证得△BDQ≌△ADP；（2）首先过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，然后由三角函数的性质，即可求得PE与QE的长，又由勾股定理，即可求得PQ的长，则可求得cos∠BPQ的值．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，AD∥BC， ∵∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°， ∴AD=BD，∠CBD=∠A=60°， ∵AP=BQ， ∴△BDQ≌△ADP（SAS）；（2）【解析】过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E， ∵BQ=AP=2， ∵AD∥BC， ∴∠QBE=60°， ∴QE=QB•sin60°=2×=，BE=QB•cos60°=2×=1， ∵AB=AD=3， ∴PB=AB-AP=3-2=1， ∴PE=PB+BE=2， ∴在Rt△PQE中，PQ==， ∴cos∠BPQ===．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等