已知抛物线y=a（x-m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点...

（1）利用抛物线y=（x-2）2+1的与y轴交于点A（0，5），它的顶点为点B（2，1），求出直线解析式即可； （2）首先得出点A的坐标为（0，-3），以及点C的坐标为（0，3），进而求出BE=2，得出顶点B的坐标求出解析式即可； （3）①由已知可得A坐标为（0，b），C点坐标为（0，-b），以及n=-2m+b，即点B点的坐标为（m，-2m+b），利用勾股定理求出； ②利用①中B点坐标，以及BD的长度即可得出P点的坐标． 【解析】 （1）由抛物线y=a（x-m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B， ∴抛物线y=（x-2）2+1的与y轴交于点A（0，5），它的顶点为点B（2，1）， 设所求直线解析式为y=kx+b， ∴， 解得：， ∴所求直线解析式为y=-2x+5； （2）如图，作BE⊥AC于点E，由题意得四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（0，-3）， 点C的坐标为（0，3）， 可得：AC=6， ∵平行四边形ABCD的面积为12， ∴S△ABC=6即S△ABC=AC•BE=6， ∴BE=2， ∵m＞0，即顶点B在y轴的右侧，且在直线y=x-3上， ∴顶点B的坐标为（2，-1）， 又抛物线经过点A（0，-3）， ∴a=-， ∴y=-（x-2）2-1； （3）①如图，作BF⊥x轴于点F， 由已知可得A坐标为（0，b），C点坐标为（0，-b）， ∵顶点B（m，n）在直线y=-2x+b（b＞0）上， ∴n=-2m+b，即点B点的坐标为（m，-2m+b）， 在矩形ABCD中，CO=BO． ∴b=， ∴b2=m2+4m2-4mb+b2， ∴m=b， n=-2×b+b=-b， ②∵B点坐标为（m，n），即（b，-b）， ∴BO==b， ∴BD=2b， 当BD=BP， ∴PF=2b-b=b， ∴P点的坐标为（b，b）； 如图3，当DP=PB时， 过点D作DE⊥PB，于点E， ∵B点坐标为（b，-b）， ∴D点坐标为（-b，b）， ∴DE=b，BE=b，设PE=x， ∴DP=PB=b+x， ∴DE2+PE2=DP2， ∴+x2=（b+x）2， 解得：x=b， ∴PF=PE+EF=b+b=b， ∴此时P点坐标为：（b，b）； 同理P可以为（b，-b）；（b，b）， 故P点坐标为：（b，b）；（b，b）；（b，-b）；（b，b）．