如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l...

（1）由切线的性质知∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°，所以可以判定四边形OADB是矩形；根据⊙O的半径是2求得直径AD=4，从而求得点P的坐标，将其代入直线方程y=kx+3即可知p变化的函数关系式； （2）连接DN．∵直径所对的圆周角是直角，∴∠AND=90°，∴根据图示易证∠AND=∠ABD；然后根据同弧所对的圆周角相等推知∠ADN=∠AMN，再由等量代换可知∠ABD=∠AMN；最后利用相似三角形的判定定理AA证明△AMN∽△ABP； （3）存在．把x=0代入y=kx+3得y=3，即OA=BD=3，然后由勾股定理求得AB=5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比．分两种情况进行讨论：①当点P在B点上方时，由相似三角形的面积比得到k2-4k-2=0，解关于k的一元二次方程；②当点P在B点下方时，由相似三角形的面积比得到k2+1=-（4k+3），解关于k的一元二次方程． 【解析】 （1）∵y轴和直线l都是⊙C的切线， ∴OA⊥AD，BD⊥AD； 又∵OA⊥OB， ∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°， ∴四边形OADB是矩形； ∵⊙C的半径为2， ∴AD=OB=4； ∵点P在直线l上， ∴点P的坐标为（4，p）； 又∵点P也在直线AP上， ∴p=4k+3； （2）连接DN． ∵AD是⊙C的直径， ∴∠AND=90°， ∵∠ADN=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN， ∴∠ADN=∠ABD， 又∵∠ADN=∠AMN， ∴∠ABD=∠AMN（4分） ∵∠MAN=∠BAP（5分） ∴△AMN∽△ABP（6分） （3）存在．（7分） 理由：把x=0代入y=kx+3得：y=3，即OA=BD=3， AB=， ∵S△ABD=AB•DN=AD•DB ∴DN==， ∴AN2=AD2-DN2=， ∵△AMN∽△ABP， ∴，即（8分） 当点P在B点上方时， ∵AP2=AD2+PD2=AD2+（PB-BD）2=42+（4k+3-3）2=16（k2+1）， 或AP2=AD2+PD2=AD2+（BD-PB）2=42+（3-4k-3）2=16（k2+1）， S△ABP=PB•AD=（4k+3）×4=2（4k+3）， ∴， 整理得：k2-4k-2=0， 解得k1=2+，k2=2-（9分） 当点P在B点下方时， ∵AP2=AD2+PD2=42+（3-4k-3）2=16（k2+1），S△ABP=PB•AD=[-（4k+3）]×4=-2（4k+3） ∴ 化简得：k2+1=-（4k+3），解得：k=-2， 综合以上所得，当k=2±或k=-2时，△AMN的面积等于（10分）