正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上...

（1）根据三角形△OEA∽△ADO，D（0，-4），E（0，1）可求出A点的坐标，再根据Rt△ADE≌Rt△ABF可求出F点的坐标，把A，F两点的坐标代入二次函数的解析式即可取出未知数的值，进而求出其解析式； （2）根据“过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N”，又知AM∥CB，可以判断，四边形AMNF为平行四边形，可得NM=AF=5，设QM=m，可用m表示出QN的长，利用S四边形AFQM=S△FQN，可以求出m的值；可知若Q（a，b）则必有M（a+1，b），代入二次函数解析式，可求得M的坐标，依据坐标特点可判断四边形的形状； （3）先根据题意画出图形，根据图形可看出，有三种情况符合题目条件： ①通过证明Rt△PQH≌Rt△APN得到∠APN+∠HPQ=90°，进一步得到AP⊥PH， ②通过证明Rt△PMH≌Rt△PAN和PN∥BH得到∠HPA=∠NPA+∠HPN=∠MHP+∠HPM=90°， ③通过证明Rt△PNH≌Rt△PMA和PN∥AB，得到∠HPA=90°． 【解析】 （1）依条件有D（0，-4），E（0，1）． ∵∠EAO+∠OAD=90°， ∠ADO+∠OAD=90°， ∴∠EAO=∠ADO， 又∵∠AOE=∠AOD=90°， ∴△OEA∽△ADO知OA2=OE•OD=4． ∴A（2，0）由Rt△ADE≌Rt△ABF得DE=AF． ∴F（-3，0）． 将A，F的坐标代入抛物线方程， 得 ∴a=b=． ∴抛物线的解析式为y=x2+x-4； （2）设QM=m， S四边形AFQM=（m+5）•|yQ|，S△FQN=（5-m）•|yQ|． ∴（m+5）•|yQ|=（5-m）•|yQ| ∴m=1 设Q（a，b），则M（a+1，b）， ∴ ∴a2-2a-3=0， ∴a=-1（舍去a=3），b=-4， 此时点M坐标为（0，-4）与点D重合，QF=AM，AF＞QM，AF∥QM， 则AFQM为等腰梯形； （3）在射线DB上存在一点P，在射线CB上存在一点H． 使得AP⊥PH，且AP=PH成立，证明如下： 当点P如图①所示位置时，不妨设PA=PH，过点P作PQ⊥BC，PM⊥CD，PN⊥AD，垂足分别为Q、M、N． 若PA=PH．由PM=PN得： AN=PQ， ∴Rt△PQH≌Rt△APN ∴∠HPQ=∠PAN． 又∠PAN+∠APN=90° ∴∠APN+∠HPQ=90° ∴AP⊥PH． 当点P在如图②所示位置时， 过点P作PM⊥BC，PN⊥AB， 垂足分别为M，N． 同理可证Rt△PMH≌Rt△PAN． ∠MHP=∠NAP． 又∠MHP=∠HPN， ∠HPA=∠NPA+∠HPN=∠MHP+∠HPM=90°， ∴PH⊥PA．（1分） 当P在如图③所示位置时，过点P作PN⊥BH，垂足为N，PM⊥AB延长线，垂足为M． 同理可证Rt△PNH≌Rt△PMA． ∴PH⊥PA． 注意：分三种情况讨论，作图正确并给出一种情况证明正确的，同理可证出其他两种情况的给予（4分）； 若只给出一种正确证明，其他两种情况未作出说明，可给（2分）； 若用四点共圆知识证明且证明过程正确的也没有讨论三种情况的．只给（2分）．