如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与y轴交于点A，对称...

（1）根据函数解析式c=2，可得出OA=OB=AB=2，过点B作BE⊥x轴与点E，根据OB=2，∠AOB=60°，可求出BE、OE的长度，继而得出点B的坐标，根据函数的对称轴为x=，再将点B的坐标代入可得出函数解析式． （2）根据等边三角形的性质可得出AB=AO、AP=AQ，∠PAO=∠QAB，利用SAS可证得结论． （3）需要分两种情况，①点Q在第三象限的抛物线上，②点Q在第一象限的抛物线上，分别求解即可． （4）①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，AB∥OQ；②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方此时，AQ∥OB，依次求解点P的坐标即可． 【解析】 （1）过点B作BE⊥x轴与点E， ∵二次函数解析式c=2， ∴OA=OB=AB=2， 又∠BOE=90°-∠AOB=30°， ∴BE=1，OE=， ∴点B的坐标为（，1）． 将点B坐标代入可得：3a+b+2=1①， 对称轴=-=② 联立①②可得a=-1．b=， 故可得函数解析式为：y=-x2+x+2． （2）由题意得，AB=AO、AP=AQ， 又∵∠PAQ+∠QOA=∠BAO+∠QAO， ∴∠PAO=∠QAB， 故可得：△APO≌△AQB（SAS）． （3）①当Q在第三象限的抛物线上，设BQ与y轴交点为F， 由（2）可得∠ABQ=90°， 又∵∠BAO=60°， ∴∠QBO=30°， ∴AFB=∠AOB-∠QBO=30°， ∴AF=2AB=4，OF=2，即F（0，-2） 把F（0，-2），B（，1）代入y=kx+b得k=，b=-2， ∴直线BQ解析式为：y=x-2， 解方程组：， 解得：，（舍去） 故可得点Q的坐标为（-，-6）； ②当Q与B重合时，Q的坐标为（，1） ∴满足条件的点Q坐标为：（，-6）、（，1）． （4）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行． ①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形， 设点P的坐标为x， ∵∠OBQ1=30°（第三问已做说明），OB=2， ∴OQ1=1， ∴点Q的坐标为（，-）， ∴AQ1==AP=， 解得：x=-或（舍去）； ②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方此时，若AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形， ∵∠APO=30°，AO=2， ∴OP=2，即点P的坐标为（2，0）． 综上可得P的坐标为（-，0）或（2，0）