如图①，在平面直角坐标系中，已知△ABC是等边三角形，点B的坐标为（12，0），...

（1）当M，O重合时，△PON是等边三角形，因此∠AMP=30°，OA=2AP，可根据OB的长和∠OAB的度数求出OA的长，即可求出AP的长，然后根据P点的速度即可求出t的值． （2）可通过构建直角三角形求解．过P分别作PQ⊥OA于点Q，PS⊥OB于点S．可在直角三角形APQ中，用AP的长和∠OQP的度数求出AQ的长，也就求出了OQ和PS的长，然后在直角三角形PSM中，可根据PS的长和∠PMN的度数求出等边三角形PMN的边长． （3）本题要分两种情况进行讨论： ①当F点在PM右侧时，即当0≤t≤1时，重合部分是个直角梯形． ②当PM和PN都与线段EF相交时，即当1＜t≤2时，重合部分是个五边形，设PM，PN与EF的交点分别为I，G，那么重合部分的面积可用梯形FGNO的面积-三角形FQI的面积来求得． 可根据上述两种情况求出S，t的函数关系式．根据函数的性质和自变量的取值范围即可求得S的最大值及对应的t的值． 【解析】 （1）点M与点O重合． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABO=30°，∠BAO=60°． 由OB=12， ∴AB=8，AO=4． ∵△PON是等边三角形， ∴∠PON=60度． ∴∠AOP=30度． ∴AO=2AP，即4=2t， 解得t=2． ∴当t=2时，点M与点O重合． （2）如图①，过P分别作PQ⊥OA于点Q，PS⊥OB于点S， 可求得AQ=AP=，PS=QO=OA-AQ=4-． QP=AQcot30°=×=t． ∴点P坐标为（，4-）． 在Rt△PMS中，sin60°=， ∴PM=（4-）÷=8-t． （3）（Ⅰ）当0≤t≤1时，见图②． 设PN交EF于点G，则重叠部分为直角梯形FONG， 作GH⊥OB于点H． ∵∠GNH=60°，GH=2， ∴HN=2． ∵MP=8-t， ∴BM=2MP=16-2t． ∴OM=BM-OB=16-2t-12=4-2t． ∴ON=MN-OM=8-t-（4-2t）=4+t． ∴FG=OH=ON-HN=4+t-2=2+t． ∴S=（2+t+4+t）×2=2t+6． ∵S随t的增大而增大， ∴当t=1时，S最大=8． （Ⅱ）当1＜t≤2时，见图③． 设PM交EF于点I，交FO于点Q，PN交EF于点G． 重叠部分为五边形OQIGN． OQ=4-2t，FQ=2-（4-2t）=2t-2，FI=FQ=2t-2． ∴三角形QFI的面积=（2t-2）（2t-2）=2（t2-2t+1）． 由（Ⅰ）可知梯形OFGN的面积=2t+6， ∴S=2t+6-2（t2-2t+1）=-2（t2-3t-2）． ∵-2＜0， ∴当t=时，S有最大值，S最大=． 综上所述：当0≤t≤1时，S=2t+6；当1＜t≤2时，S=-2t2+6t+4； ∵＞8， ∴S的最大值是．