已知：如图，有一块含30°的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角...

已知：如图，有一块含30°的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且AB=3．
（1）若双曲线的一个分支恰好经过点A，求双曲线的解析式；
（2）若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与x轴重叠，点A落在点A′，试求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

（1）要求双曲线的解析式，主要是求得点A的坐标，根据30°的直角三角形的性质即可求得OB的长，则得到点A的坐标，再根据待定系数法进一步求得双曲线的解析式；（2）阴影部分的面积即为扇形OAA′的面积减去三角形OCD的面积．【解析】（1）在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3， =， ∴OB=AB•=3， ∴点A（3，3）．设双曲线的解析式为y=（k≠0）． ∴3=，k=9．则双曲线的解析式为y=．（2）在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3， sin∠AOB=，sin30°=， ∴OA=6．由题意得：∠AOC=60°， S扇形AOA′=．在Rt△OCD中，∠DOC=45°，OC=OB=3， ∴OD=OC•cos45°=3•． ∴S△ODC=． ∴S阴影=S扇形AOA′-S△ODC=6π-．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等