如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（-1...

（1）本题需先根据抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过（-1，0）B（3，0）两点，分别求出a、b的值，再代入抛物线y=ax2+bx+3即可求出它的解析式． （2）本题首先设出BD解析式y=kx+b，再把B、D两点坐标代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根据面积公式即可求出最大值． （3）本题需先根据（2）得出最大值来，求出点P的坐标，得出四边形PEOF是矩形，再作点P关于直线EF的对称点P′设出MC=m，则MF=m．从而得出P′M与P′E的值，根据勾股定理，得出m的值，再由△EHP′∽△EP′M，得出EH和OH的值，最后求出P′的坐标，判断出不在抛物线上． 【解析】 （1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0）， ∴解得， 抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3， ∴y=-（x-1）2+4， ∴D（1，4）； （2）设BD的解析式为y=kx+b，则有 解得， ∴BD的解析式为：y=-2x+6， ∵P的坐标为（x，y）， ∴P的坐标为（x，-2x+6）， ∴PE=x， ∴S=， ∴S=-x2+3x   （1＜x＜3）， S=-（x-）2+， ∴S的最大值为． （3）不存在． 当x=时，y=-2×+6=3， ∴P（，3）， ∴PF=3 ∴四边形PEOF是矩形． 作点P关于直线EF的对称点P′，连接P′E，P′F． 过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M， 设MC=m，则MF=m，P′M=3-m，P′E=， 在Rt△P′MC中，由勾股定理， （ ）2+（3-m）2=m2， 解得m=， ∴MF=MC=，P′M= ∵△P′CM∽△HEP′ ∵CM•P′H=P′M•P′E， ∴P′H=， 由△EHP′∽△EP′M， 可得 EH：EP′=EP′：EM，EH=． ∴OH=3-=． ∴P′坐标（-，）． 将x=-代入抛物线的解析式，得y=≠ ∴不在抛物线上．