已知：三角形ABC三边a、b、c满足a2=b2+c2-bc，b2=a2+c2-a...

（1）要证明△ABC为等边三角形，证明三边相等是解答本题的关键，将已知三式相加，然后化简变形，运用因式分解化成完全平方式，根据非负数和为零定理就可以求出a=b=c，从而证明结论． （2）延长BO1交AC于D，根据内心和等边三角形的性质可以用字母表示出△ABC的面积及BO1的长度，同样地方法可以表示出△BB1O1的面积、△BB2O2的面积，依此类推可以表示出△BBnOn的面积．从而求出答案． （1）证明：∵a2=b2+c2-bc，b2=a2+c2-ac，c2=a2+b2-ab， ∴a2+b2+c2=b2+c2-bc+a2+c2-ac+a2+b2-ab， ∴0=a2+b2+c2-bc-ac-ab， ∴0=2a2+2b2+2c2-2bc-2ac-2ab， ∴0=（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2 ∴a-b=0，a-c=0，b-c=0 ∴a=b，a=c，b=c ∴a=b=c ∴△ABC是等边三角形； （2）【解析】 延长BO1交AC于D ∵O1为△ABC的内心， ∴BD⊥AC，AD=DC，设AD=x，则AC=2X，在Rt△ABD中由勾股定理，得 BD=x， ∴S△ABC==4 ∴x2=4 在Rt△ADO1中，由勾股定理，得 DO1= ∴BO1=x ∴EO1=x，BE=x ∴S1=x2= 同理可以求出BO2=x，O2F=x，BF=x S2==x2= 同理可得：S3=…Sn= ∴S2010= 答：S1=，S2=，S2010=