如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，∠...

（1）已知点B的坐标，可求出OB的长；在Rt△OBD中，已知了∠ODB=30°，通过解直角三角形即可求得OD的长，也就得到了点D的坐标；由于E是线段BD的中点，根据B、D的坐标即可得到E点的坐标；将B、E的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，由此确定抛物线的解析式； （2）过E作EG⊥x轴于G，根据A、E的坐标，即可用勾股定理求得AE的长； 过O作AE的垂线，设垂足为K，易证得△AOK∽△AEG，通过相似三角形所得比例线段即可求得OK的长；在Rt△OMK中，通过解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的长可在Rt△AEK中由勾股定理求得，根据AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的长； （3）由于点P到△ABO三顶点的距离和最短，那么点P是△ABO的费马点，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易证得△OBE是等边三角形，那么PA+PO+PB的最小值应为AE的长；求AP的长时，可作△OBE的外切圆（设此圆为⊙Q），那么⊙Q与AE的交点即为m取最小值时P点的位置；设⊙Q与x轴的另一交点（O点除外）为H，易求得点Q的坐标，即可得到点H的坐标，也就得到了AH的长，相对于⊙Q来说，AE、AH都是⊙Q的割线，根据割线定理即可求得AP的长． 【解析】 （1）过E作EG⊥OD于G（1分） ∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D， ∴△BOD∽△EGD， ∵点B（0，2），∠ODB=30°， 可得OB=2，； ∵E为BD中点， ∴ ∴EG=1， ∴ ∴点E的坐标为（2分） ∵抛物线经过B（0，2）、两点， ∴， 可得； ∴抛物线的解析式为；（3分） （2）∵抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧， ∴A点的坐标为 ∴， ∴在△AGE中，∠AGE=90°，（4分） 过点O作OK⊥AE于K， 可得△AOK∽△AEG ∴ ∴ ∴ ∴ ∵△OMN是等边三角形， ∴∠NMO=60° ∴； ∴，或；（6分） （写出一个给1分） （3）如图； 以AB为边做等边三角形AO′B，以OA为边做等边三角形AOB′； 易证OE=OB=2，∠OBE=60°，则△OBE是等边三角形； 连接OO′、BB′、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）； ∵OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE， ∴△AOE≌△B′OB； ∴∠B′BO=∠AEO； ∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°， ∴∠POP'=60°， ∴△POP′为等边三角形， ∴OP=PP′， ∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE； 即m最小=AE=； 如图；作正△OBE的外接圆⊙Q， 根据费马点的性质知∠BPO=120°，则∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°； ∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°； 即B、P、O、E四点共圆； 易求得Q（，1），则H（，0）； ∴AH=； 由割线定理得：AP•AE=OA•AH， 即：AP=OA•AH÷AE=×÷=． 故：m可以取到的最小值为 当m取得最小值时，线段AP的长为． （如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分）