已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1）、B（0，3），第三个顶点C在x...

（1）根据第三个顶点C在x轴的正半轴上，利用勾股定理求出OC的长，进而求出C点坐标，应用待定系数法即可求出直线BC的解析式； （2）由于抛物线解析式关于y轴对称，可知一次项系数为0，利用待定系数法，设出一般式，将A（0，1），D（3，-2）代入解析式即可求出二次函数解析式；根据轴对称定义和角平分线的定义，利用特殊角判断出则符合条件的点P就是直线BC与抛物线y=-x2+1的交点． （3）根据轴对称定义和性质，作出C关于y轴的对称点C′，将求PM+CM的取值范围转化为求PM+C′M的取值范围． 【解析】 （1）∵A（0，1），B（0，3）， ∴AB=2， ∵△ABC是等腰三角形，且点C在x轴的正半轴上， ∴AC=AB=2， ∴OC==． ∴C（，0）．（2分） 设直线BC的解析式为y=kx+3， ∴k+3=0， ∴k=-． ∴直线BC的解析式为y=-x+3．（4分） （2）∵抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称， ∴b=0．（5分） 又抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，1），D（3，-2）两点． ∴ 解得 ∴抛物线的解析式是y=-x2+1．（7分） 在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，易得∠ACO=30°． 在Rt△BOC中，OB=3，OC=，易得∠BCO=60°． ∴CA是∠BCO的角平分线． ∴直线BC与x轴关于直线AC对称． 点P关于直线AC的对称点在x轴上，则符合条件的点P就是直线BC与抛物线y=-x2+1的交点．（8分） ∵点P在直线BC：y=-x+3上，故设点P的坐标是（x，-x+3）． 又∵点P（x，-x+3）在抛物线y=-x2+1上， ∴-x+3=-x2+1． 解得x1=，x2=2． 故所求的点P的坐标是P1（，0），P2（2，-3）．（10分） （3）要求PM+CM的取值范围，可先求PM+C′M的最小值． （I）当点P的坐标是OC=时，点P与点C重合， 故PM+CM=2CM． 显然CM的最小值就是点C到y轴的距离为， ∵点M是y轴上的动点， ∴PM+CM无最大值， ∴PM+CM≥2．（13分） （II）当点P的坐标是（2，-3）时，由点C关于y轴的对称点C′（-，0）， 故只要求PM+MC'的最小值，显然线段PC'最短．易求得PC'=6． ∴PM+CM的最小值是6． 同理PM+CM没有最大值， ∴PM+CM的取值范围是PM+CM≥6． 综上所述，当点P的坐标是（，0）时，PM+CM≥2， 当点P的坐标是（2，-3）时，PM+CM≥6．（15分）