已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=4，⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切...

（1）设⊙A的半径为R．根据已知条件“⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切于点D，⊙B、⊙C的半径均为1”易知AB=R-1，AC=R+1；然后在直角三角形ABC中根据勾股定理列出关于R的方程，由R的取值范围解方程即可； （2）在Rt△ADB中，根据已知条件“⊙A与⊙C外切于点D”求得AD=、AB=；然后由锐角三角函数的定义来求tan∠ADB的值． 【解析】 （1）设⊙A的半径为R，（1分） ∵⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切于点D，⊙B、⊙C的半径均为1， ∴AB=R-1，AC=R+1．（2分） ∵∠A=90°，BC=4，∴AB2+AC2=BC2，（1分） ∴（R-1）2+（R+1）2=16，（1分） 解得R=（负值舍去）． ∴⊙A的半径为．（2分） （2）∵⊙A与⊙C外切于点D，∴点D在AC上．（1分） 在Rt△ADB中，∵AD=，AB=， ∴．（2分）