如图，已知在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，以AE为直径的⊙O与过B...

（1）根据一元二次方程根与系数的关系得到AC+BC=AB+4，AC•BC=4AB+8，则有AC2+BC2=（AC+BC）2-2AC•BC=（AB+4）2-2（4AB+8）=AB2，根据勾股定理的逆定理得到∠C=90°，再利用正弦的定义得到sinA=，而25BC•sinA=9AB，则，然后设BC=3k，AB=5k，则AC=4k，利用AC+BC=AB+4即可求出k，从而得到△ABC三边的长； （2）连接BP，PO，根据两圆相切的性质得到D在OP上，易证得∠PBD=∠A，则PB∥AC，得到PB⊥BC，根据切线的判定定理得到结论； （3）设⊙P的半径为r，过P作PH⊥AC于H，则PH=BC=6，OH=8-3-r=5-r，在Rt△OPH中，利用勾股定理得到关于r的方程，解方程即可． （1）【解析】 ∵AC和BC边的长是关于x的方程x2-（AB+4）x+4AB+8=0的两根， ∴AC+BC=AB+4，AC•BC=4AB+8， ∴AC2+BC2=（AC+BC）2-2AC•BC=（AB+4）2-2（4AB+8）=AB2 ∴∠C=90°， ∴sinA=， ∵25BC•sinA=9AB， ∴9AB2=25BC2 ∴， 设BC=3k，AB=5k，则AC=4k， ∴4k+3k=5k+4， ∴k=2， ∴BC=6，AB=10，AC=8； （2）证明：连接BP，PO，如图1， ∵⊙O与过B点的⊙P外切于点D， ∴D在OP上， ∵OA=OD，PD=PB， ∴∠A=∠ADO，∠PDB=∠PBD， ∴∠PBD=∠A， ∴PB∥AC， ∵∠C=90°， ∴PB⊥BC， ∴BC是⊙P的切线； （3）设⊙P的半径为r，过P作PH⊥AC于H，如图2， ∴PH=BC=6，OH=8-3-r=5-r， 在Rt△OPH中， ∴OP2=PH2+OH2，即（3+r）2=（5-r）2+62， 解得r=．