如图，在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O半径为1，且与两坐标轴分别交于A、B、C...

（1）根据⊙O半径为1，得出D点坐标，再利用CO=1，AO=1，点M、N在直线y=x上，即可求出答案； （2）根据待定系数法求出抛物线的解析式，再利用配方法求出顶点坐标即可，再利用解直角三角形求出cos∠BDF的值； （3）根据平移后的圆心O在x轴的上方时，可设平移后的圆心O′的坐标为（m，1），得出O′的坐标为（0，1）或（1，1），再利用当平移后的圆心O在x轴的下方时，可设平移后的圆心O″的坐标为（n，-1），得出O″的坐标为（-1，-1）或（2，-1），再利用平移分析即可． 【解析】 （1）∵⊙O半径为1， ∴D（0，1）， ∵过点A和点C分别作⊙O的切线MA、NC，它们分别与直线y=x交于点M、N， CO=1，AO=1， ∴M（-1，-1）、N（1，1）； （2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c． ∵点D、M、N在抛物线上． ∴得：， 解之，得：， ∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+1． ∵， ∴抛物线的对称轴为， ∴． 连接BF，∠BFD=90°， ∴， 又， ∴， ∴． 在直角三角形DOE中，cos∠BDF=． （3）∵⊙O半径为1，平移后的⊙O要与x轴相切且它的圆心O在抛物线上， ∴平移后的圆心O必在平行于x轴且到x轴的距离为1的直线与抛物线的交点上 当平移后的圆心O在x轴的上方时，可设平移后的圆心O′的坐标为（m，1）． 则-m2+m+1=1， 解得m1=0，m2=1， ∴O′的坐标为（0，1）或（1，1） 当平移后的圆心O在x轴的下方时，可设平移后的圆心O″的坐标为（n，-1）． 则-n2+n+1=-1， 解得n1=-1，n2=2， ∴O″的坐标为（-1，-1）或（2，-1） ∴①将⊙O沿着y轴的正方向平移1个单位，能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上； ②将⊙O沿着y轴的正方向平移1个单位后，再沿着x轴的正方向平移1个单位（或将⊙O沿着直线y=x的向上方向平移个单位），能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上； ③将⊙O沿着y轴的负方向平移1个单位后，再沿着x轴的负方向平移1个单位，（或将⊙O沿着直线y=x的向下方向平移个单位）能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上； ④将⊙O沿着y轴的负方向平移1个单位后，再沿着x轴的正方向平移2个单位，（或将⊙O沿着直线的向下方向平移个单位）能使⊙O与x轴相切且它的圆心O在抛物线上；