如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，D为AB延长线上一点，DC=AC，∠ACD...

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，D为AB延长线上一点，DC=AC，∠ACD=120°，BD=10．
（1）判断DC是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）求扇形BOC的面积．

（1）DC是⊙O的切线．根据△ACD，△AOC为等腰三角形，∠ACD=120°，利用三角形内角和定理求∠OCD=90°即可；（2）由（1）可知，∠COD=60°，在Rt△OCD中，已知BD=10，利用解直角三角形的方法求半径，再利用扇形面积公式求解．【解析】（1）DC是⊙O的切线．理由：∵DC=AC， ∴∠CAD=∠D，又∵∠ACD=120°， ∴∠CAD=（180°-∠ACD）=30°， ∵OC=OA， ∴∠A=∠ACO=30°， ∴∠COD=60°，又∵∠D=30°， ∴∠OCD=180°-∠COD-∠D=90°， ∴DC是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OCD中，sin∠D==， ∵∠D=30，BD=10， ∴=，解得r=10， ∴扇形BOC的面积===．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等