如图，抛物线y=-x2+（m+2）x-3（m-1）交x轴于A、B，交y轴于C．直...

本题是一道二次函数综合试题 （1）利用二次函数与x轴的交点求函数的解析式，当y=0时就可以求出点A、B的坐标．再利用直线的解析式求出m的值从而求出二次函数的解析式． （2）要求面积最大时Q点坐标，就应该想到建立有关的表示三角形面积的二次函数求最值，把△CEQ的面积表示出来就可，关键是利用三角形相似求出△BQE的高． （3）根据等腰三角形的判定及性质分情况讨论所成的等腰三角形，首先可以利用直线y=x-3求出于y轴的交点．然后就可以根据情况求出k值． 【解析】 （1）由-x2+（m+2）x-3（m-1）=0， 得x1=m-1，x2=3． ∴A（3，0）B（m-1，0）． ∵直线y=（m+1）x-3过A点， ∴m=0， ∴函数解析式分别为：y=-x2+2x+3，y=x-3； （2）把x=0代入y=-x2+2x+3，得y=3． ∴C（0，3）． 设Q（m，0），过点D作DE⊥x轴于D． 由（1）知：B（-1，0），A（3，0）， ∴AB=4，BQ=m+1 ∵EQ∥AC，∴△BQE∽△BAC， ∴ 即， ∴DE= ∴S△CPD=S△CAP-S△DAP = = = ∴当m=1时，S△CPD有最大值，此时P（1，0） （3）设直线y=x-3交y轴于点C ∴C（0，-3），A（3，0） ∴OC=OA ∴∠OAC=∠NAD=45° 若△PMN为等腰三角形，且k＜0，则PN=PM． 当PN=PM时，则∠PNM=∠PMN=45° ∵∠ODM=90° ∴OD=DM，设M的坐标为（m，-m） ∴-m=km，k=-1 当PN=MN时， ∵MN∥OC ∴ ∠ACO=∠PN ∴PC=OC=3 过点P作PH垂直y轴于H ∴PH=CP= CH=PH= OH=3- ∴P 又点P在直线y=kx上 ∴ 综上，k=-1或k=1-．