如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D...

（1）根据在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点得到BO⊥AC，再根据DE⊥AC得到∠POB=∠DEP=90°，从而证明△POB≌△DEP，进而证得结论PE=BO；解题时注意分P在AO上和P在OC上两种情况讨论； （2）由△POB≌△DEP得BO=PE=4，当点P在AO上时，PO=DE=EC=4-x，此时，S△PBD=SPBDE-S△PDE，当P在OC上时，PO=DE=EC=x-4，此时S△PBD=S△PBC+S△PDC=S△PBC+S△PDE-S△CDE=S△PBC+S△POB-S△CDE （3）根据S△ABC=16，知道要使得△PBD的面积是△ABC面积的，只要，解方程得x1=2，x2=6从而得到当AP等于2或6时，△PBD的面积是△ABC面积的． 【解析】 （1）P在AO上（如图1）： ∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点 ∴BO⊥AC ∵DE⊥AC ∴∠POB=∠DEP=90°（1分） ∵PB=PD ∴∠PBD=∠PDB， ∵∠OBC=∠C=45°， ∴∠OBP+∠OBC=∠PDB=∠CPD+∠PCD， ∵∠PBD=∠PDB， ∴∠PB0=∠DPE（2分） ∴△POB≌△DEP（AAS） ∴PE=BO（1分） P在OC上（如图2）： ∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点 ∴BO⊥AC ∵DE⊥AC ∴∠POB=∠DEP=90° ∵PB=PD ∴∠PBD=∠PDB ∵∠C=∠DCE=∠CDE=45° ∴∠PB0=∠DPE（1分） ∴△POB≌△DEP（AAS） ∴PE=BO（1分） （2）P在AO上（如图1）： 由△POB≌△DEP得BO=PE=4， ∴PO=DE=EC=4-x，（1分） ∴S△PBD=SPBDE-S△PDE=S△PBO+SOBDE-S△PDE=SOBDE=S△OBC-S△DEC ∴S△PBD=（2分） P在OC上（如图2）： 由△POB≌△DEP得BO=PE=4， ∴PO=DE=EC=x-4，（1分） ∴S△PBD=S△PBC+S△PDC=S△PBC+S△PDE-S△CDE=S△PBC+S△POB-S△CDE =（2分） ∴ 即y=（8x-x2），（0＜x＜8）； （3）S△ABC=16，要使得△PBD的面积是△ABC面积的， 只要，解方程得x1=2，x2=6，（2分） 即当AP等于2或6时，△PBD的面积是△ABC面积的 注：（2）中的S△PBD的求解可以直接用面积计算，而且不需分类讨论，可酌情给分）