如图，在直角坐标平面中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴的负半轴...

（1）通过解方程x2-15x+36=0，得OP、OC的长度，即可推出P点的坐标，（2）根据直角三角形的性质，推出Cos∠ABC==Cos∠ACO=，结合已知条件即可推出AP的长度， （3）首先设出Q点的坐标，分情况讨论，①AP∥CQ，然后根据，即可求出OQ的长度，即可得Q点的坐标，然后根据P和Q点的坐标即可推出直线PQ的解析式，②PQ∥AC，分别求出即可． 【解析】 （1）∵PO、OC的长是方程x2-15x+36=0的两根，OC＞PO， ∴PO=3，OC=12（2分） ∴P（0，-3）（2分） （2）在Rt△OBC与Rt△AOC中，cos∠ABC==cos∠ACO， ∴（1分） 设CO=4K，AC=5K，∴CO=4K=12，K=3 ∴AO=3K=9，∴A（-9，0）（2分） ∴AP=（1分） （3）设在x轴上存在点Q（x，0）使四边形AQCP是梯形， ①AP∥CQ，∴， ∵OA=9，OP=3，OC=12， ∴OQ=36，则Q（-36，0）， 设直线PQ的解析式为y=kx+b，将点P（0，-3），Q（-36，0）代入，得， 解得：， ②同理当PQ∥AC，可得PQ的解析式为：y=-x+3； ∴所求直线PQ的解析式为y=-x-3或y=-x+3．