如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D...

从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值． 【解析】 如图，在AC上截取AE=AN，连接BE． ∵∠BAC的平分线交BC于点D， ∴∠EAM=∠NAM， 在△AME与△AMN中，， ∴△AME≌△AMN（SAS）， ∴ME=MN． ∴BM+MN=BM+ME≥BE． ∵BM+MN有最小值． 当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC， 又AB=4，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形， ∴BE=4， 即BE取最小值为4， ∴BM+MN的最小值是4． 故答案为：4．