已知：如图，BD为⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E，连接AB．...

（1）点A是劣弧BC的中点，即可得∠ABC=∠ADB，又由∠BAD=∠EAB，即可证得△ABE∽△ADB，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得AB2=AE•AD； （2）由（1）求得AB的长，又由BD为⊙O的直径，即可得∠A=90°，由DF是⊙O的切线，可得∠BDF=90°，在Rt△ABD中，求得tan∠ADB的值，即可求得∠ADB的度数，即可证得△DEF是等边三角形，则问题得解． 【解析】 （1）证明：∵点A是劣弧BC的中点， ∴∠ABC=∠ADB．（1分） 又∵∠BAD=∠EAB， ∴△ABE∽△ADB．（2分） ∴． ∴AB2=AE•AD．（3分） （2）【解析】 ∵AE=2，ED=4， ∵△ABE∽△ADB， ∴， ∴AB2=AE•AD， ∴AB2=AE•AD=AE（AE+ED）=2×6=12． ∴AB=2（舍负）．（4分） ∵BD为⊙O的直径， ∴∠A=90°． 又∵DF是⊙O的切线， ∴DF⊥BD． ∴∠BDF=90°． 在Rt△ABD中，tan∠ADB=， ∴∠ADB=30°． ∴∠ABC=∠ADB=30°． ∴∠DEF=∠AEB=60°，∠EDF=∠BDF-∠ADB=90°-30°=60°． ∴∠F=180°-∠DEF-∠EDF=60°． ∴△DEF是等边三角形． ∴EF=DE=4．（5分）