如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，A...

（1）点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，根据梯形的面积公式就可以利用t表示，就得到S与t之间的函数关系式． （2）以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： ①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ． 在Rt△PMQ中根据勾股定理，就得到一个关于t的方程，就可以求出t． （3）根据相似三角形对应边成比例可列式求出t，从而根据正切的定义求出值． （4）首先假设存在，然后再根据相似三角形对应边成比例求证． 【解析】 （1）如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形． ∴PM=DC=12． ∵QB=16-t， ∴S=×12×（16-t）=96-6t（0≤t＜16）； （2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t． 以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： ①若PQ=BQ． 在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122， 由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2， 解得t=； ②若BP=BQ． 在Rt△PMB中，BP2=（16-2t）2+122． 由BP2=BQ2得：（16-2t）2+122=（16-t）2 即3t2-32t+144=0． 由于△=-704＜0， ∴3t2-32t+144=0无解， ∴PB≠BQ． ③若PB=PQ． 由PB2=PQ2，得t2+122=（16-2t）2+122 整理，得3t2-64t+256=0． 解得t1=，t2=16（舍去） 综合上面的讨论可知：当t=秒或t=秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形． （3）如图，由△OAP∽△OBQ，得． ∵AP=2t-21，BQ=16-t， ∴2（2t-21）=16-t． ∴t=． 过点Q作QE⊥AD，垂足为E． ∵PD=2t，ED=QC=t， ∴PE=t． 在Rt△PEQ中，tan∠QPE=． 又∵AD∥BC， ∴∠BQP=∠QPE， ∴tan∠BQP=； （4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD． 如图，过点Q作QE⊥AD于E，垂足为E． ∵AD∥BC ∴∠BQF=∠EPQ， 又∵在△BFQ和△BCD中∠BFQ=∠C=90°， ∴∠BQF=∠BDC， ∴∠BDC=∠EPQ， 又∵∠C=∠PEQ=90°， ∴Rt△BDC∽Rt△QPE， ∴，即． 解得t=9． 所以，当t=9秒时，PQ⊥BD．