如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在...

（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，求出A、B、D的坐标代入即可； （2）①由勾股定理即可求出，②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，求出P、Q的坐标，再分为两种种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标． （3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，求出直线BD的解析式，把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标． 【解析】 （1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c， ∵正方形的边长2， ∴B的坐标（2，-2）A点的坐标是（0，-2）， 把A（0，-2），B（2，-2），D（4，-）代入得：， 解得a=，b=-，c=-2， ∴抛物线的解析式为：， 答：抛物线的解析式为：． （2）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t， ∴S=PQ2=PB2+BQ2， =（2-2t）2+t2， 即S=5t2-8t+4（0≤t≤1）． 答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2-8t+4，t的取值范围是0≤t≤1． ②【解析】 假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形． ∵S=5t2-8t+4（0≤t≤1）， ∴当S=时，5t2-8t+4=，得20t2-32t+11=0， 解得t=，t=（不合题意，舍去）， 此时点P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，-）， 若R点存在，分情况讨论： （i）假设R在BQ的右边，如图所示，这时QR=PB，RQ∥PB， 则R的横坐标为3，R的纵坐标为-， 即R（3，-）， 代入，左右两边相等， ∴这时存在R（3，-）满足题意； （ii）假设R在QB的左边时，这时PR=QB，PR∥QB， 则R（1，-）代入，， 左右不相等，∴R不在抛物线上．（1分） 综上所述，存点一点R（3，-）满足题意． 则存在，R点的坐标是（3，-）； （3）如图，M′B=M′A， ∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M， 理由是：∵MA=MB，若M不为L与DB的交点，则三点B、M、D构成三角形， ∴|MB|-|MD|＜|DB|， 即交点时差为|DB|为最大， 设直线BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐标代入得：， 解得：k=，b=-， ∴y=x-， 抛物线的对称轴是x=1， 把x=1代入得：y=- ∴M的坐标为（1，-）； 答：M的坐标为（1，-）．