（2002•盐城）已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC...

（1）根据题意，易证△GBD∽△CBE，得，即BD•BC=BG•BE； （2）可通过证明ABG∽△EBA从而求得AG⊥BE； （3）首先连接DE，E是AC中点，D是BC中点，得出DE∥BA，因为BA⊥AC，所以 DE⊥AC设AB=2a AE=a，做CH⊥BE交BE的延长线于H，再利用△AEG≌△CEH，以及△DEF∽△BHC得出即可． （1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC ∴∠ABC=∠C=45° ∵∠BGD=∠FGE=45° ∴∠C=∠BGD ∵∠GBC=∠GBC ∴△GBD∽△CBE ∴ 即BD•BC=BG•BE； （2）证明：∵BD•BC=BG•BE，∠C=45°， ∴BG====， ∴=，∠ABG=∠EBA ∴△ABG∽△EBA ∴∠BGA=∠BAE=90° ∴AG⊥BE； （3）【解析】 连接DE， 连接DE，E是AC中点，D是BC中点， ∴DE∥BA， ∵BA⊥AC， ∴DE⊥AC，设AB=2a AE=a，做CH⊥BE交BE的延长线于H， ∵∠AEG=∠CEH，∠AGE=∠CHE，AE=EC ∴△AEG≌△CEH（AAS）， ∴CH=AG， ∠GAE=∠HCE ∵∠BAE为直角， ∴BE=a， ∴AG=AB×=a=a， ∴CH=a， ∵AG⊥BE，∠FGE=45°， ∴∠AGF=45°=∠ECB， ∵∠FGE=45°， ∴∠AGE=90°， ∴AG∥CH， ∴∠GAE=∠HCE， ∵∠DFE=∠GAE+∠AGF=∠HCE+∠ECB； ∴∠DFE=∠BCH， 又∵DE⊥AC，CH⊥BE， ∴△DEF∽△BHC ∴EF：DF=CH：BC=a：2a=．