（2002•杭州）如图，⊙O1与⊙O2外切于点C，⊙O1与⊙O2的连心线与外公切...

（2002•杭州）如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点C，⊙O₁与⊙O₂的连心线与外公切线相交于点P，外公切线与两圆的切点分别为A、B，且AC=4，BC=5．
（1）求线段AB的长；
（2）证明：PC²=PA•PB．

（1）由题意可知AO1和BO2平行，根据同旁内角互补，可知∠AO1O2+∠BO2O1=180°，根据两个三角形内角和为360°，且O1A=O1C，O2B=O2C，可知∠ACO1+∠BCO2=90°，然后根据勾股定理求出AB；（2）证明PC2=PA•PB，即证△PAC∽△PCB，而在这两个三角形中已经有一个公共角∠P，只需再找一组角即可，根据（1）可得等角的余角相等，可知∠PCA=∠PBC，即可知相似，然后得出等积式．（1）【解析】 PAB切⊙O1与⊙O2与A、B， ∴AO1⊥PA，BO2⊥PB ∴AO1∥BO2 ∴∠AO1O2+∠BO2O1=180° 又在△AO1C和△BO2C中，内角和为360° ∴∠O1AC+∠O1CA+∠O2BC+∠O2CB=180° ∵O1A=O1C，O2B=O2C ∴∠O1AC=∠O1CA，∠O2BC=∠O2CB ∴∠ACO1+∠BCO2=90° ∴∠ACB=90° ∴在RT△ABC中，AB=；（2）证明：由（1），知∠ACO1+∠BCO2=90° 而∠O2BC=∠O2CB，且∠O2BC+∠CBA=90° ∴∠PCA=∠PBC 又∠P为公共角 ∴△PAC∽△PCB ∴ 即PC2=PA•PB．

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考点分析：

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（1）求证：AB=AC；
（2）若O₁A切⊙O₂于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d_l、d₂，求证：d₁+d₂=O₁O₂；
（3）在（2）条件下，若d₁d₂=1，设⊙O₁、⊙O₃的半径分别为R、r，求证：R²+r²= manfen5.com 满分网

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（1）求证：PE∥BC；
（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．
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试题属性

题型：解答题
难度：中等