（2002•苏州）已知：⊙O1与⊙O2外切于点P，过点P的直线分别交⊙O1、⊙O...

（2002•苏州）已知：⊙O₁与⊙O₂外切于点P，过点P的直线分别交⊙O₁、⊙O₂于点B、A，⊙O₁的切线BN交⊙O₂于点M、N，AC为⊙O₂的弦．
（1）如图（1），设弦AC交BN于点D，求证：AP•AB=AC•AD；
（2）如图（2），当弦AC绕点A旋转，弦AC的延长线交直线BN于点D时，试问：AP•AB=AC•AD是否仍然成立？证明你的结论．
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（1）过点P作两圆的切线EF，连接CP并延长交⊙O1于点G，连接BG．根据弦切角定理可以证明∠C=∠B，从而证明△APC∽△ADB，再根据相似三角形的性质即可证明；（2）过点P作两圆的切线EF，连接NP并延长交⊙O1于点G，连接BG．根据弦切角定理和三角形的外角的性质证明∠APC=∠D，从而根据两角对应相等得到△APC∽△ADB，再根据相似三角形的性质即可证明．【解析】（1）过点P作两圆的切线EF，连接CP并延长交⊙O1于点G，连接BG． ∴∠1=∠C，∠2=∠G． ∵⊙O1的切线BN交⊙O2于点M、N， ∴∠3=∠G．又∠1=∠2， ∴∠C=∠3．又∠CAP=∠BAD， ∴△APC∽△ADB． ∴，即AP•AB=AC•AD．（2）过点P作两圆的切线EF，连接NP并延长交⊙O1于点G，连接BG．连接CP，则∠APF=∠BPE=∠PBN=∠D+∠A，∠CPF=∠A，则∠APC=∠D．又∠PAC=∠DAB， ∴△APC∽△ADB． ∴，即AP•AB=AC•AD．

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考点分析：

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（2002•山西）已知：如图，A是⊙O₁、⊙O₂的一个交点，点M是O₁O₂的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O₁、⊙O₂于B、C．
（1）求证：AB=AC；
（2）若O₁A切⊙O₂于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d_l、d₂，求证：d₁+d₂=O₁O₂；
（3）在（2）条件下，若d₁d₂=1，设⊙O₁、⊙O₃的半径分别为R、r，求证：R²+r²= manfen5.com 满分网

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①求证：IE=BE；
②线段IE是哪两条线段的比例中项，试加以证明．

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（2002•荆门）已知：如图，PF是⊙O的切线，PE=PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O于B、D，直线DE交⊙O于C，连接BC，
（1）求证：PE∥BC；
（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．
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（2002•娄底）如图所示，⊙O的内接△ABC的AB边过圆心O，CD切⊙O于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，CE⊥AB于点E，FE交⊙O于G．
解答下列问题：
（1）若BC=10，BE=8，求CD的值；
（2）求证：DF•DB=EG•EF．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等