（2002•山西）已知：如图，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点M是O1O2的中点...

（2002•山西）已知：如图，A是⊙O₁、⊙O₂的一个交点，点M是O₁O₂的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O₁、⊙O₂于B、C．
（1）求证：AB=AC；
（2）若O₁A切⊙O₂于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d_l、d₂，求证：d₁+d₂=O₁O₂；
（3）在（2）条件下，若d₁d₂=1，设⊙O₁、⊙O₃的半径分别为R、r，求证：R²+r²= manfen5.com 满分网

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（1）作O1D⊥AB于点D，O2E⊥AC于点E，分别运用垂径定理得到BD=AD，AE=CE，易得AB=AC；（2）利用梯形中位线定理，即可O1D+O2E=2AM，d1+d2=O1O2；（3）根据相似三角形的性质，表示出d1=，d2=；再结合（2）的结论，进行证明．证明：（1）分别作O1D⊥AB于点D，O2E⊥AC于点E．则AB=2AD，AC=2AE． ∵O1D∥AM∥O2E， ∵M为O1O2的中点， ∴AD=AE，AB=AC．（2）∵O1A切⊙O2于点A， ∴O1A⊥O2A，又∵M为O1O2的中点，O1O2=2AM 在梯形O1O2ED中， ∵AM为梯形的中位线，O1D+O2E=2AM， ∴O1D+O2E=O1O2，即d1+d2=O1O2．（3）∵O1A⊥O2A， ∴∠AO1D=∠O2AE， ∴Rt△O1AD∽Rt△AO2E． ∴==，即==． ∴AD•AE=d1•d2=1．即由（1）（2）知，AD=AE=1，O1O2=d1+d2， ∴d1=，d2=， ∴R2+r2=O1O22=（d1+d2）2=（+）2=．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等