在△ABC中，∠ACB=90°，AC=．以BC为底作等腰直角△BCD，E是CD的...

要证明AE⊥BE，只要证明∠AEB是直角即可，当∠AEB=90°时，∠AEC+∠DEB=90°．又因为∠DBE+∠DEB=90°，那么要证明AE⊥EB，只要证明∠AEC=∠DBE即可．那么我们可通过构建全等三角形来实现．过E作EF∥BC交BD于F，∠DEF=∠DCB=45°．根据E是CD中点，那么EF是直角三角形BCD的中位线，那么EF=BC=AC，CE=BF，直角三角形EFB和ACE中，已知的条件有EF=AC，CE=BF，只要再得出两边的夹角相等即可，我们发现∠ACE=∠BFE=90°+45°=135°，由此就凑齐了三角形全等的条件，两三角形就全等了．∠AEC=∠DBE． 证明：过E作EF∥BC交BD于F． ∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=135°，∠DFE=∠DBC=45°， ∴∠EFB=135°． 又EF=BC，EF∥BC，AC=BC， ∴EF=AC，CE=FB． ∴△EFB≌△ACE． ∴∠CEA=∠DBE． 又∵∠DBE+∠DEB=90°， ∴∠DEB+∠CEA=90°． 故∠AEB=90°． ∴AE⊥EB．