（2008•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A的坐标为（10...

（1）欲求过O、C、A三点的抛物线解析式，需要先求出C点的坐标，过B作BD⊥x轴于D，在Rt△ABD中，通过解直角三角形，可求得B点坐标，然后根据关于x轴对称的点的坐标特征，得到点C的坐标，从而利用待定系数法来求得该抛物线的解析式． （2）若以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形，则此四边形中，必有一组对边平行，且不相等；可分别过O、C、A作AC、OA、OC的平行线，那么所求的P点，必在这些平行线与抛物线的交点中，然后再分别判定所得四边形的平行边是否相等即可，若相等，则所得四边形为平行四边形，不符合题意，若不相等，则所求四边形为梯形，那么所作平行线与抛物线的交点即为所求的P点． （3）此题可首先表示出抛物线的解析式，然后分两种情况：①抛物线开口向上，②抛物线开口向下；解法一致，首先得到M、N、Q、R的坐标，△QNR的面积可直接求出，而△QMN的面积可通过作x轴的垂线，利用割补法来求得；进而可得到它们的面积比． 【解析】 （1）如图，过点B作BD⊥OA于点D．在Rt△ABD中， ∵|AB|=，sin∠OAB=， ∴|BD|=|AB|•sin∠OAB=×=3． 又由勾股定理，得= ∴|OD|=|OA|-|AD|=10-6=4． ∵点B在第一象限， ∴点B的坐标为（4，3）． …3分 设经过O（0，0）、C（4，-3）、A（10，0）三点的抛物线的函数表达式为y=ax2+bx（a≠0）． 由 ∴经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式为．…2分 （2）假设在（1）中的抛物线上存在点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形 ①∵点C（4，-3）不是抛物线的顶点， ∴过点C作直线OA的平行线与抛物线交于点P1．则直线CP1的函数表达式为y=-3． 对于， 令y=-3则得x=4或x=6． ∴ 而点C（4，-3）， ∴P1（6，-3）． 在四边形P1AOC中，CP1∥OA，显然|CP1|≠|OA|． ∴点P1（6，-3）是符合要求的点． …1分 ②若AP2∥CO． 设直线CO的函数表达式为y=k1x． 将点C（4，-3）代入， 得4k1=-3 ∴ ∴直线CO的函数表达式为． 于是可设直线AP2的函数表达式为． 将点A（10，0）代入，得． ∴直线AP2的函数表达式为． 由， 即（x-10）（x+6）=0． ∴而点A（10，0）， ∴P2（-6，12）． 过点P2作P2E⊥x轴于点E，则|P2E|=12． 在Rt△AP2E中，由勾股定理，得． 而|CO|=|OB|=5． ∴在四边形P2OCA中，AP2∥CO，但|AP2|≠|CO|． ∴点P2（-6，12）是符合要求的点． …1分 ③若OP3∥CA，设直线CA的函数表达式为y=k2x+b2将点A（10，0）、C（4，-3）代入， 得 ∴直线CA的函数表达式为． ∴直线OP3的函数表达式为，由， 即x（x-14）=0． ∴ 而点O（0，0）， ∴P3（14，7）．过点P3作P3E⊥x轴于点E，则|P3E|=7． 在Rt△OP3E中，由勾股定理，得．而|CA|=|AB|=． ∴在四边形P3OCA中，OP3∥CA，但|OP3|≠|CA|． ∴点P3（14，7）是符合要求的点． …1分 综上可知，在（1）中的抛物线上存在点P1（6，-3）、P2（-6，12）、P3（14，7）， 使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形． …1分 （3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下． ①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y轴的负半轴交于点N． 可设抛物线的函数表达式为y=a（x+2k）（x-5k）（a＞0）． 即y=ax2-3akx-10ak2=． 如图，过点M作MG⊥x轴于点G． ∵Q（-2k，0）、R（5k，0）、G（、N（0，-10ak2）、M， ∴|QO|=2k，|QR|=7k，|OG|=，|QG|=． ∴•|QR|•|ON| =×7k×10ak2=35ak3． S△QMN=•|QO|•|ON|+（|ON|+|GM|）•|OG|-•|QG|•|GM|= =． ∴．…2分 ②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y轴的正半轴交于点N，同理，可得S△QNM：S△QNR=3：20．…1分 综上所知，S△QNM：S△QNR的值为3：20． …1分