（2001•重庆）已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB...

（1）要求两三角形相似，已知条件有一组直角，我们只需再证得一组对应角相等即可得出两三角形相似，根据FE⊥EC，因此∠AEF和∠DCE都是∠DEC的余角，因此∠AEF=∠DCE，我们只要再得出∠DCE=∠FCE即可，可通过构建全等三角形来求解，延长FE交CD于G，我们不难得出△AEF和△GED全等，那么EF=EG，再根据一组直角和一条公共边我们可得出△FEC和△GEC全等，即可得出∠FCE=∠GCE也就得出了∠AEF=∠ECF，于是就凑齐了两三角形相似的条件． （2）要想使两三角形相似，已知的条件有一组直角，那么分两种情况进行讨论： 当∠AFE=∠FCB时，那么∠AFE就和∠BFC互余，因此∠EFC就是直角，而∠FEC也是直角因此这种情况是不成立的． 当∠AEF=∠FCB时，AE：BC=AF：BF，那么由于E是AD中点，因此BC=2AE，所以我们可得出BF=2AF，即AB=3AF，又根据（1）中AF=GD，AB=CD，我们可在△CEG中根据△EGD和△EDC相似，得出关于GD、ED、DC的比例关系，也就是AF、AB、AE的比例关系，有了AB=3AF，就能求出ED与AF的比例关系，也就求出了BC与AF的比例关系，以AF为中间值即可得出AB与BC的比例关系，也就求出了k的值． 【解析】 （1）△AEF∽△ECF．证明如下： 延长FE与CD的延长线交于G， ∵E为AD的中点，AE=DE，∠AEF=∠GED， ∴Rt△AEF≌Rt△DEG． ∴EF=EG． ∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°， ∴Rt△EFC≌Rt△EGC． ∴∠AFE=∠EGC=∠EFC． 又∵∠A=∠FEC=90°， ∴Rt△AEF∽Rt△ECF． （2）设AD=2x，AB=b，DG=AF=a，则FB=b-a， ∵∠GEC=90°，ED⊥CD， ∴ED2=GD•CD ∴x2=ab， 假定△AEF与△BFC相似，则有两种情况： 一是∠AFE=∠BCF；则∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC=90°，因此此种情况是不成立的． 二是∠AFE=∠BFC． 根据△AEF∽△BCF， 于是：=，即=，得b=3a． 所以x2=ab=3a2，因此x=a， 于是k====．