（2001•湖州）己知如图，正△ABC的边长为2，B，C在x轴的正半轴上，A在第...

（2001•湖州）己知如图，正△ABC的边长为2，B，C在x轴的正半轴上，A在第一象限，直线 manfen5.com 满分网

经过A点，以BC为直径的⊙M交AB于E．
（1）求A点的坐标；
（2）求证：OE与⊙M相切；
（3）试各写出一个顶点在⊙M内、⊙M上、⊙M外，且经过B、C两点的抛物线的解析式．（只需写出解析式，不需书写求解过程）．

（1）可在直角三角形BMA中，根据等边三角形的边长和∠ABC的正弦值求出AM的长即A点的纵坐标，然后代入直线的解析式中即可求出A点的坐标；（2）连接ME，证ME⊥OE即可．易知三角形BEM是等边三角形，那么BE=BM，根据A点的坐标可求出B点的坐标，由此可证得AB=BM，因此证出了BE=OM，由此得证；（3）根据圆和抛物线的对称性可知：抛物线的对称轴必过M点，因此只需找出抛物线与圆的两个交点坐标，易知：（2，1）（2，-1）．据此来求抛物线的解析式．（1）【解析】连接AM，在直角三角形ABM中，AB=2，∠ABC=60°，因此BM=1，AM=．将y=代入直线解析式中：=x+-1，x=2 ∴A（2，）（2）证明：由（1）可知：BM=1，因此OB=OM-BM=2-1=1，因此BM=OB 连接ME，∵MB=ME，∠ABC=60°， ∴△BME是等边三角形． ∴BE=OB=BM， ∴∠OME=∠EBM=∠BEM=60°， ∴∠OBE=120°， ∴∠EOB=∠BEO=30°， ∴∠OEM=90°， ∴OE是圆M的切线．（3）【解析】当顶点在圆上时，抛物线的解析式为y=±（x2-4x+3），其他两种情况答案不唯一．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等