（2001•四川）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于不同的两点...

（1）（2）因为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），所以A和B关于抛物线对称轴对称，于是=-1①；又因为A、B两点间的距离为10，且x1＜x2，所以x2-x1=10②，△ABC的面积可表示为|c|=15③，将①②③组成方程组，即可解出点A和点B的坐标和抛物线的解析式． （3）假设三角形相似，画出图形，先确定相似三角形的一个对应角，然后求出直线解析式，与二次函数的解析式联立求出点P的坐标，再根据勾股定理求出PA的长度，然后利用相似三角形的对应边成比例进行验证，符合的，则存在，否则就不合适． 【解析】 （1）（2）因为抛物线过A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），且抛物线顶点的横坐标为-1， 所以是=-1①； 又因为A、B两点间的距离为10，且x1＜x2， 所以x2-x1=10②， 因为△ABC的面积为15，所以为×（-c）=15③， 组成方程组得， 解得， 于是A（-6，0），B（4，0）， 把c=-3，代入y=ax2+bx+c得 ， 解得， 于是函数解析式为y=x2+x-3， 所以点A和点B和点C的坐标分别为A（-6，0），B（4，0），C（0，-3）． 于是可画出图形： （3）①如图1所示，构造△ABC∽△APB，在y轴正半轴上找C′（0，3） 连接AC′并延长AC′交抛物线于P，连接PB， 则∠PAB=∠BAC， 易得AC′：y=+3， 联立， 解得：（A点），， ∴P（8，7） ∴AP===7， ∴≠， 根据对称可得（-10，7）也不成立， 此猜想不成立， ②构造△ABC∽△PAB， 过A点作AP′∥BC交抛物线于P′， ∴∠P′AB=∠ABC， 设直线AP′为y=x+b， 则×（-6）+b=0， 解得b=， ∴直线AP′为：y=x+， 联立， 解得（A点），， ∴P′（10，12）， ∴P′A==20， ∴==2， ∴△ABC∽△P′AB， 根据对称可得P″（-12，12）， ∴P′（10，12），P″（-12，12）为所求．