（2001•四川）已知：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，CD⊥AB于D．若AE...

（2001•四川）已知：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，CD⊥AB于D．若AE=AC，BE交⊙O于点F，连接CF、DE．
求证：（1）AE²=AD•AB；
（2）∠ACF=∠AED．

（1）根据AE=AC，可以把结论转化为证明AC2=AD•AB，只需连接BC，证明△ACD∽△ABC即可．根据直径所对的圆周角是直角，即可分析得到两个角对应相等；（2）根据（1）中的结论，即可证明三角形ADE相似于三角形AEB，得到∠AED=∠B，再根据同弧所对的圆周角相等即可证明．证明：（1）连接BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∵CD⊥AB， ∴△ACD∽△ABC． ∴． ∵AC=AE， ∴AE2=AD•AB．（2）∵AE2=AD•AB，∠EAD=∠BAE， ∴△ADE∽△AEB． ∴∠AED=∠B． ∵∠ACF=∠B， ∴∠ACF=∠AED．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等