（2001•山东）已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点P（1，-2）、...

（2001•山东）已知，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点P（1，-2）、Q（-1，2），且与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，与y轴交于C点，连接AC、BC．
（1）求a与c的关系式；
（2）若 manfen5.com 满分网

（O为坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）是否存在满足条件tan∠CAB•cot∠CBA=1的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

（1）将P、Q的坐标代入抛物线的解析式中，将b消去即可得出a，c的关系式．（2）本题可先将所给的等式进行适当变形，然后设出A、B的横坐标，用韦达定理求出待定系数的值，即可求出抛物线的解析式．（3）根据已知的条件可知：∠CAB=∠CBA，此时OA=OB，那么抛物线关于y轴对称，此时对称轴x=0，据此可求出抛物线的解析式．【解析】（1）将P、Q的坐标代入抛物线的解析式可得：，解得b=-2，a=-c．（2）由①知y=ax2-2x-a，设A（x1，0），B（x2，0）．令y=0，ax2-2x-a=0； x1+x2=，x1x2=-1， ∴A在x负半轴上，B在x正半轴上 ∴OA=-x1，OB=x2 ==== = ∴4=，即a2=3， ∴a=±， ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-或y=-x2-2x+．（3）∵tan∠CAB•cot∠CBA=1， ∴OA=OB，由于A、B分别在原点两侧，因此A、B关于原点对称，即抛物线的对称轴为y轴， ∴x==0，显然不成立，因此不存在这样的抛物线．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等