（2001•宁夏）用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p-2）x+1...

（2001•宁夏）用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x²+（p-2）x+1=0两个实数根，求代数式（m²+mp+1）（n²+np+1）的值．

本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p-2）x+1=0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n=2-p①，mn=1②，m2+（p-2）m+1=0③，n2+（p-2）n+1=0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．【解析】 ∵m、n是x2+（p-2）x+1=0的根， ∴m+n=2-p，mn=1．方法一： m2+（p-2）m+1=0，n2+（p-2）n+1=0．即m2+pm+1=2m，n2+pn+1=2n．原式=2m×2n=4mn=4．方法二：（m2+mp+1）（n2+np+1） =（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1 =m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1 =1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1 =2+p2+m2+n2+2（m+n）p =2+p2+m2+n2+2（2-p）p =2+p2+m2+n2+4p-2p2 =2+（m+n）2-2mn+4p-2p2+p2 =2+（2-p）2-2+4p-2p2+p2 =4-4p+p2+4p-p2 =4．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等